Álgebra lineal Ejemplos

$\frac{1}{3} y - \frac{2}{3} x = 1$ , $10 x - 5 y = - 15$

Step 1

Obtén la forma $A X = B$ del sistema de ecuaciones.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ 10 & - 5 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ - 15 \end{array}]$

Step 2

Obtén la inversa de la matriz de coeficientes.

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La inversa de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse mediante la fórmula $\frac{1}{| A |} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ , en la que $| A |$ es el determinante de $A$ .

Si $A = [\begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array}]$ entonces $A^{- 1} = \frac{1}{| A |} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$

Obtén el determinante de $[\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ 10 & - 5 \end{array}]$ .

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Estas son dos notaciones válidas para el determinante de una matriz.

$determinante [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ 10 & - 5 \end{array}] = | \begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ 10 & - 5 \end{array} |$

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(- \frac{2}{3}) (- 5) - 10 (\frac{1}{3})$

Simplifica el determinante.

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Simplifica cada término.

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Multiplica $(- \frac{2}{3}) (- 5)$ .

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Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$5 (\frac{2}{3}) - 10 (\frac{1}{3})$

Combina $5$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{3} - 10 (\frac{1}{3})$

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{10}{3} - 10 (\frac{1}{3})$

Combina $- 10$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{10}{3} + \frac{- 10}{3}$

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{10}{3} - \frac{10}{3}$

Combina fracciones.

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Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{10 - 10}{3}$

Simplifica la expresión.

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Resta $10$ de $10$ .

$\frac{0}{3}$

Divide $0$ por $3$ .

$0$

Sustituye los valores conocidos en la fórmula para la inversa de una matriz.

$\frac{1}{0} [\begin{array}{c} - 5 & - (\frac{1}{3}) \\ - (10) & - \frac{2}{3} \end{array}]$

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Reorganiza $- (\frac{1}{3})$ .

$\frac{1}{0} [\begin{array}{c} - 5 & - \frac{1}{3} \\ - (10) & - \frac{2}{3} \end{array}]$

Reorganiza $- (10)$ .

$\frac{1}{0} [\begin{array}{c} - 5 & - \frac{1}{3} \\ - 10 & - \frac{2}{3} \end{array}]$

Multiplica $\frac{1}{0}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{0} \cdot - 5 & \frac{1}{0} \cdot (- \frac{1}{3}) \\ \frac{1}{0} \cdot - 10 & \frac{1}{0} \cdot (- \frac{2}{3}) \end{array}]$

Reorganiza $\frac{1}{0} \cdot - 5$ .

$[\begin{array}{c} Undefined & \frac{1}{0} \cdot (- \frac{1}{3}) \\ \frac{1}{0} \cdot - 10 & \frac{1}{0} \cdot (- \frac{2}{3}) \end{array}]$

Como la matriz no está definida, no se puede resolver.

$Undefined$

Indefinida